Objectifs

En connaissant une des valeurs parmi le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle, on peut facilement retrouver les deux autres.
Quelle est la relation entre le cosinus et le sinus d’un angle ? Quelle est la relation entre la tangente, le sinus et le cosinus d’un angle ?

1. Relation entre cosinus et sinus d'un angle

Approche géométrique

Soit LMP un triangle rectangle en M et x la mesure de l’angle

. On a :

.
On obtient alors

.
Le triangle est rectangle en M, donc d’après le théorème de Pythagore, on a :

.
En remplaçant par les valeurs de ML et MP trouvées précédemment, on obtient :

, soit

.
En divisant par LP² (strictement positif), on obtient :

Soit x la mesure en degré d’un angle aigu. On a :
(cos(x))² + (sin(x))² = 1.

Exemple
Soit x la mesure d’un angle aigu tel que cos(x) = 0,6.
Calculer sin(x).

On a :
(cos(x))² + (sin(x))² = 1
(0,6)² + (sin(x))² = 1
0,36 + (sin(x))² = 1.
Donc (sin(x))² = 1 − 0,36 = 0,64.
Comme le sinus d’un angle est positif, nous avons donc