Somme des angles d'un triangle

Soit ABC un triangle et (d) une droite passant par A et parallèle à (BC).

Les angles bleus d’une part ainsi que les angles verts d’autre part sont en position d’angles alternes-internes.
Or les droites (d) et (BC) sont parallèles, donc les angles bleus ont la même mesure et les angles verts aussi.
D’après le schéma, les angles vert, bleu et rouge forment un angle plat. Ils sont donc supplémentaires. La somme de ces trois angles est égale à 180°.
On en déduit la règle suivante :


Autre formulation
Dans un triangle ABC, on a :
 +  +  = 180°.

Exemple
Quand on connait deux angles d’un triangle, on peut calculer le troisième.
Dans le triangle ABC ci-dessous on donne  = 75° et  = 39°.
Calculer .

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. On a donc :
 +  +  = 180°.
Donc  = 180° −  − .
Soit  = 180° − 75° − 39° = 66°.

Triangle équilatéral
Du fait qu’un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie et que la symétrie axiale conserve les angles, les trois angles d’un triangle équilatéral sont égaux.

Sur le triangle précédent, comme la somme des angles est égale à 180°, on peut écrire :
 +  +  = 180°.
Or  =  = .
Donc  =  =  = 180° ÷ 3 = 60°.
Chaque angle d’un triangle équilatéral est égal à 60°.

Triangle rectangle
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Comme  = 90°, alors  +  = 180° − 90° = 90°.
Donc les angles et sont complémentaires.

Triangle rectangle isocèle
Un triangle isocèle possède 1 axe de symétrie donc les angles à la base sont égaux. Si de plus, le triangle est rectangle, les angles à la base sont complémentaires.

Sur notre schéma,  +  = 90° et  =  = 90° ÷ 2 = 45°.

Triangle isocèle
Soit ABC un triangle isocèle en A et  = 78°.
Calculer les angles et .

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. On a donc :
 +  +  = 180°.
Donc  +  = 180° − 78° = 102°.
Or, dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux :
 = .
Par conséquent,  =  = 102 ÷ 2 = 51°.