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Aire d'un triangle

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Objectif
Afin de résoudre de nombreux problèmes de la vie courante, on calcule l'aire d'une figure (calcul de la surface de moquette nécessaire pour couvrir un sol…).
Comment calcule-t-on l’aire d'un triangle ?
1. Aire d'une figure
• L’aire d’une figure correspond à la mesure de sa surface.
  Elle s’exprime en m², cm², mm², hm²…
• Unité d’aire 
La surface d’un carré de 1 cm de côté est 1 cm² ; c'est une unité d'aire. 
De la même manière, on pourrait construire une unité d’aire de 1 mm², 1 m², 1 dam²…

Ce carré de 1 cm de côté a pour aire 1 cm².
Calculer l’aire d’une figure revient à déterminer le nombre d’unités d’aire qu’elle contient.

Exemple
 
La figure ci-dessus contient 16 unités d’aire de 1 cm² ; son aire est de 16 cm².

 


2. Aire d'un triangle
a. Aire du triangle rectangle
L’aire d’un triangle rectangle de longueurs L et l est égale à la moitié de l’aire d’un rectangle :
A = (L × l) ÷ 2.

Aire (ABC) = (AB × AC) ÷ 2.
b. Hauteurs dans un triangle
Une hauteur dans un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Dans ce cas, on dit que (AH) est la hauteur issue de A ou que (AH) est la hauteur relative au côté [BC]. [BC] est aussi appelé la base relative à cette hauteur.

Cas particulier
 Une hauteur peut être extérieure au triangle si l’un des angles est obtus. Pour la tracer, on prolonge un des côtés et on trace la perpendiculaire passant par le sommet opposé.


Remarques :
• On appelle aussi hauteur le segment [AH] ou la longueur AH.
• Un triangle possède trois hauteurs issues des trois sommets du triangle (relatives aux trois côtés).
c. Aire d'un triangle
L’aire d’un triangle ABC, de hauteur [AH] relative à [BC] est égale à la somme des aires des triangles rectangles ABH et ACH.
Or Aire (ABH) = (AH × BH) ÷ 2.
Aire (ACH) = (AH × HC) ÷ 2.
Donc l’aire du triangle ABC est donnée par :
 
On a donc le résultat suivant :
 
L’aire d’un triangle est égale au produit de la longueur d’un côté du triangle (base relative b) par sa hauteur h relative divisé par 2.

Aire (ABC) = (base × hauteur) ÷ 2 = (b × h) ÷ 2.
Exemple
Soit ABC un triangle tel que BC = 6 cm ; AC = 4 cm et de hauteur relative à [BC], h = 3 cm.
Donner l’aire de ABC et la longueur de la hauteur relative à [AC].
Aire (ABC) = (hauteur × base) ÷ 2 = (h × BC) ÷ 2 = (3 × 6) ÷ 2 = 9 cm².
Or Aire (ABC) = (h1 × AC) ÷ 2 = (h1 × 4) ÷ 2 = 9 cm2.
Donc 2 × h1 = 9 cm2.
Soit h1 = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
3. Aire et médiane d'un triangle
Une médiane dans un triangle est la droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Dans ce cas, on dit que (AI) est la médiane issue de A ou que (AI) est la médiane relative au côté [BC].
 Remarque : Un triangle possède trois médianes issues des trois sommets du triangle.
  
Propriété
Une médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire.
En effet les triangles ABC, ABI et ACI ont la même hauteur h.
Aire (ABI) = (h × BI) ÷ 2 = (h × IC) ÷ 2 = Aire (ACI) car BI = IC.

Exemple
 Soit ABC un triangle tel que BC = 8 cm. La hauteur h relative à [BC] mesure 5 cm. Soit I le milieu de [BC].
Calculer l’aire du triangle ABI.

Aire (ABC) = (hauteur × base) ÷ 2 = (5 × 8) ÷ 2 = 20 cm².
(AI) est la médiane relative au côté [BC] donc l’aire du triangle ABI est égal à la moitié de l’aire de ABC.
Aire (ABI) = Aire (ABC) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10 cm².

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