Théorème de Pythagore
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Objectifs
Dans un triangle rectangle, il existe une relation entre les
longueurs de ses côtés donnée par le
théorème de Pythagore.
Comment calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle ? Comment démontrer qu’un triangle est rectangle connaissant les longueurs de ses côtés ?
Comment calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle ? Comment démontrer qu’un triangle est rectangle connaissant les longueurs de ses côtés ?
1. Préalable au théorème de Pythagore
a. Racine carrée
Exemple : On cherche la longueur BC telle
que BC2 = 9
On remarque que BC = 3 cm , car BC² = 9 = 3 × 3 = 32
On note BC =
= 3 ; se lit « racine carrée de 9
»
De la même manière on aurait :
= 5 car 5 × 5 = 25
= 4 car 4 × 4 = 16
...
Mais la plupart du temps, la racine carrée d'un nombre se calculera avec une calculatrice :
• directement sur la touche
• ou très souvent
• ou encore en tapant
Exemple: A la calculatrice,
On remarque que BC = 3 cm , car BC² = 9 = 3 × 3 = 32
On note BC =
= 3 ; se lit « racine carrée de 9
»De la même manière on aurait :
= 5 car 5 × 5 = 25
= 4 car 4 × 4 = 16...
Mais la plupart du temps, la racine carrée d'un nombre se calculera avec une calculatrice :
• directement sur la touche
• ou très souvent
• ou encore en tapant
Exemple: A la calculatrice,
b. Vocabulaire du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est
le côté opposé de l’angle droit.
C’est aussi le côté le plus long dans le triangle rectangle.
C’est aussi le côté le plus long dans le triangle rectangle.
2. Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore : Si un triangle
est rectangle, alors le carré de
l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés.
Formulation équivalente : Si le triangle ABC est rectangle en A alors
Formulation équivalente : Si le triangle ABC est rectangle en A alors
Conséquence : Si le carré de la longueur du côté le plus grand d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle.
1er exemple : On veut calculer l’hypoténuse dans un triangle rectangle
Soit ABC un triangle rectangle en A. On donne AB = 6 cm et AC = 3 cm. Calculer BC.
Donnée : ABC est rectangle en A
Citation : D’après le théorème de Pythagore, on a
Conclusion :
Donc
A la calculatrice, on obtient une valeur approchée au dixième :
2ème exemple : On veut calculer un des côtés de l’angle droit
Soit DEF un triangle rectangle en D. On donne DF = 6 cm et EF = 9 cm. Calculer DE.
Donnée : DEF est un triangle rectangle en D.
Citation : D’après le théorème de Pythagore, on a
Conclusion :
Soit
D’où
A la calculatrice, on obtient une valeur approchée au dixième :
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