Sphères et boules
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De tout temps, la sphère de par ses nombreuses
symétries a passionné les hommes. On en rencontre
de nombreux exemples dans la vie courante : les astres,
les boules de pétanque…
Quel est le vocabulaire lié aux sphères et aux boules ? Quelle est la section plane d’une sphère ? Comment calcule-t-on l’aire d’une sphère et le volume d’une boule ?
Quel est le vocabulaire lié aux sphères et aux boules ? Quelle est la section plane d’une sphère ? Comment calcule-t-on l’aire d’une sphère et le volume d’une boule ?
1. Vocabulaire
a. Sphères et boules
• Sphère
Soit O un point de l’espace et R un nombre positif.
Soit O un point de l’espace et R un nombre positif.
Soit O un point de l’espace et R un nombre positif.
La sphère de centre O et de rayon R
est l’ensemble des points M de
l’espace tels que
OM = R.
Une sphère est une surface.
• BouleUne sphère est une surface.
Soit O un point de l’espace et R un nombre positif.
La boule de centre O et de rayon R est
l’ensemble des points M de l’espace
tels que OM ≤ R.
Une boule est un solide.
Une boule est un solide.
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Exemple La sphère ci-contre a pour centre O et pour rayon R = OM. O, A et C n’appartiennent pas à cette sphère. M et B appartiennent à la sphère. Les points M, C, O, B appartiennent à la boule. A n’appartient pas à la boule car OA > R. |
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b. Grand cercle
Soit une sphère de centre O et de rayon
R.
Un grand cercle de la sphère est un cercle
de centre O et de rayon R.
Remarque : Si le milieu du segment
formé par deux points de la sphère est le
centre de la sphère, alors on dit que ces deux
points sont diamétralement
opposés.|
Exemple On considère la sphère de centre O ci-contre. Les points A et B sont diamétralement opposés. On dit aussi que [AB] est un diamètre de la sphère. Deux grands cercles de la sphère ont été représentés en orange et en vert. |
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2. Section plane d'une sphère
Quand elle existe, la section plane d’une
sphère par un plan est un cercle ou un
point.
Exemple
Soit une sphère de centre O et de rayon R. On considère un plan P et un point H de ce plan tel que la droite (OH) soit perpendiculaire à ce plan. On appelle la distance OH la distance du centre O au plan P.
Remarque : Si OH = 0, alors la section de la sphère par un plan est un grand cercle de la sphère et la sphère est ainsi séparée en deux hémisphères.
Exemple
Soit une sphère de centre O et de rayon R. On considère un plan P et un point H de ce plan tel que la droite (OH) soit perpendiculaire à ce plan. On appelle la distance OH la distance du centre O au plan P.
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1er cas Si OH > R, alors le plan P ne coupe pas la sphère ; il n’y a donc pas de point commun. |
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2eme cas Si OH = R, alors le plan P coupe la sphère en un unique point H. La section plane se réduit alors au point H. On dit que le plan P est tangent à la sphère. |
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3eme cas Si 0 < OH < R, alors la section plane de la sphère par le plan P est un cercle de rayon [MH]. Le triangle OHM est rectangle en H. Par application du théorème de Pythagore dans OHM, il vient :  .On dit que la sphère est séparée en deux calottes sphériques. |
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Remarque : Si OH = 0, alors la section de la sphère par un plan est un grand cercle de la sphère et la sphère est ainsi séparée en deux hémisphères.
3. Aire et volume
a. Aire d'une sphère
Soit une sphère de centre O et de rayon
R.
On souhaite peindre un ballon de 30 cm de diamètre. Pour cela, on a besoin de la surface du ballon. Autrement dit, calculer l’aire de la sphère.
A = 4πR2 = 4π × 152 = 900π ≈ 2 826.
La valeur exacte de l’aire est 900π cm2. Une valeur approchée est 2 826 cm2.
L’aire de cette
sphère est
donnée par :
A = 4πR2.
ExempleOn souhaite peindre un ballon de 30 cm de diamètre. Pour cela, on a besoin de la surface du ballon. Autrement dit, calculer l’aire de la sphère.
A = 4πR2 = 4π × 152 = 900π ≈ 2 826.
La valeur exacte de l’aire est 900π cm2. Une valeur approchée est 2 826 cm2.
b. Volume d'une boule
Soit une boule de centre O et de rayon R.
Trouver le volume d’une boule de 6 mètres de rayon.
.
La valeur exacte du volume est 288π m3. Une valeur approchée à l’unité du volume est de 904 m3.
Exemple 2
La Terre est un solide assimilable à une boule de rayon 6370 km.
En donner un volume approché en écriture scientifique.
.
Une valeur approchée du volume terrestre est 1,1 × 1012 km3.
Le volume de cette
boule est donnée
par :
.
Exemple 1.
Trouver le volume d’une boule de 6 mètres de rayon.
.La valeur exacte du volume est 288π m3. Une valeur approchée à l’unité du volume est de 904 m3.
Exemple 2
La Terre est un solide assimilable à une boule de rayon 6370 km.
En donner un volume approché en écriture scientifique.
.Une valeur approchée du volume terrestre est 1,1 × 1012 km3.
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