Equations du premier degré à une inconnue
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Objectifs
Un problème peut être résolu grâce à
l’utilisation d’une équation. Parmi
celles-ci, les équations du premier degré à
une inconnue sont les plus faciles à résoudre.
Comment poser un problème grâce à des équations ? Comment résoudre une équation du premier degré à une inconnue ?
Comment poser un problème grâce à des équations ? Comment résoudre une équation du premier degré à une inconnue ?
1. Egalités et équations
Une égalité est une expression
composée de 2 membres séparés par un
signe =
Exemple :
Exemples:
• Si 4 = x alors 4 + 5 = x + 5 d'où 9 = x + 5
• Si z = 14 alors z – 8 = 14 – 8 = 6
Exemples :
Si 4 =
alors 3
× 4 = 3
d’où 12 = 3
Si z = 28 alors
= 
d’où 
= 4
Exemples :
est une équation du premier degré à
une inconnue 
est une équation du second degré (car il y a des
2) à une inconnue x.
est une équation du premier degré à
2 inconnues 
et
Au collège, nous n’étudierons que les équations du premier degré à une inconnue.
Exemple :
On ne change pas une égalité si on
additionne (ou soustrait) chacun de ses
membres par un même nombre.
En écriture mathématique, on obtient, avec a, b et c, trois nombres quelconques :
En écriture mathématique, on obtient, avec a, b et c, trois nombres quelconques :
Si a =
b alors a+c =
b+c et
a–c
= b–c
Exemples:
• Si 4 = x alors 4 + 5 = x + 5 d'où 9 = x + 5
• Si z = 14 alors z – 8 = 14 – 8 = 6
On ne change pas une égalité si on
multiplie (ou divise) chacun de ses membres
par un même nombre.
En écriture mathématique : soient a, b des nombres quelconques et c un nombre non nul;
En écriture mathématique : soient a, b des nombres quelconques et c un nombre non nul;
Si a =
b alors a ×
c =
b × c
et 
Exemples :
Si 4 =
alors 3
× 4 = 3
d’où 12 = 3Si z = 28 alors
= d’où = 4
Une équation est une égalité
comportant des nombres inconnus symbolisés
par des lettres.
Exemples :
est une équation du premier degré à
une inconnue
est une équation du second degré (car il y a des
2) à une inconnue x.
est une équation du premier degré à
2 inconnues et
Au collège, nous n’étudierons que les équations du premier degré à une inconnue.
2. Résolution d'une équation du 1er degré
à une inconnue
Résoudre une équation revient à
chercher toutes les valeurs des inconnues pour que
l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont
appelées les solutions de
l’équation.
Exemple : 4 est solution de l’équation
car 3×4 –2 = 10
Remarque : les équations du premier
degré n’ont qu’une seule solution ou
aucune.
Résolution d’une équation du type
(a
0 ;
a et b sont des nombres donnés) :
La solution de l’équation
est 
Exemple : Résoudre
D’après le résultat précédent, la solution de cette équation est :
Grâce aux règles d’opérations sur les égalités, toute équation du premier degré peut se ramener à une équation du type
(avec a et b des nombres quelconques et a
0)Exemple 1 : Résoudre
L'équation a pour unique solution
Exemple 2 : Résoudre
d'où:
Cette égalité est impossible donc l’équation n’a pas de solution.
Remarque : Afin de simplifier les manipulations d’équations, on effectue « de tête » certaines opérations sur les égalités.
En reprenant l’exemple 1, pour résoudre
,
on écrirait :
3. Mise en équation d'un problème
Problème: Martin organise une tombola. Pour cela, il
dépense 3400€ pour acheter différents lots,
et imprime un grand nombre de billets. S'il fixait le prix
du billet à 3€, il perdrait autant d'argent
qu'il n'en gagnerait en le mettant à 5€. Combien
y a-t-il de billets?
a. Choix de l’inconnue : Soit x le nombre de billets de tombola
b. Mise en équation :
En mettant le billet à 3€, il perdrait
En mettant le billet à 5€, il gagnerait
Comme il perdrait autant qu’il gagnerait, on a :
c. Résolution de l’équation :
d. Conclusion : Il y a 850 billets de tombola.
e. Vérification :
• Avec 850 billets à 3€ il récolterait 850×3 = 2550€ ( <3400€ : il gagnerait moins qu'il n'a dépensé).
Il perdrait alors 3400–2550=850€
• Avec 850 billets à 5€, il récolterait 850×5= 4250€. ( >3400€ : il ferait des bénéfices)
Au total, il gagnerait 4250–3400=850€. Ce résultat correspond bien aux données du problème.
Pour résoudre ce problème, il peut
être intéressant de suivre la procédure
suivante :
a. Choix de l’inconnue
b. Mise en équation du problème
c. Résolution de l’équation
d. Conclusion du problème
e. Vérification du résultat
a. Choix de l’inconnue
b. Mise en équation du problème
c. Résolution de l’équation
d. Conclusion du problème
e. Vérification du résultat
a. Choix de l’inconnue : Soit x le nombre de billets de tombola
b. Mise en équation :
En mettant le billet à 3€, il perdrait
En mettant le billet à 5€, il gagnerait
Comme il perdrait autant qu’il gagnerait, on a :
c. Résolution de l’équation :
d. Conclusion : Il y a 850 billets de tombola.
e. Vérification :
• Avec 850 billets à 3€ il récolterait 850×3 = 2550€ ( <3400€ : il gagnerait moins qu'il n'a dépensé).
Il perdrait alors 3400–2550=850€
• Avec 850 billets à 5€, il récolterait 850×5= 4250€. ( >3400€ : il ferait des bénéfices)
Au total, il gagnerait 4250–3400=850€. Ce résultat correspond bien aux données du problème.
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