Notions de fonctions

Une fonction est une « machine à transformer ».
Analogie : les distributeurs automatiques.
On introduit une pièce de monnaie et, par un mécanisme, on obtient une boisson ou une friandise.
Le distributeur automatique est une fonction ! Il transforme les pièces en objets de consommation.

En mathématiques, une fonction numérique est une « machine » qui transforme un nombre en un autre nombre.

Exemples :

a) La fonction qui transforme tout nombre en son carré.
Cette fonction transforme :
• 3 en 9 car 3² = 9
• -4 en 16 car (-4)² = 16
• en car

b) La fonction qui transforme un nombre en son triple.
Cette fonction transforme :
• 5 en 15 car 3 × 5 = 15
• -1 en -3 car 3 × (-1) = -3

Pour nommer une fonction, on utilise en général les lettres f, g ou h.

Remarque : On peut utiliser n’importe quelle autre lettre pour symboliser une fonction. Parfois, on utilisera une lettre significative pour une fonction, comme «p» pour une fonction de prix.

Exemples :

1) Soit f la fonction qui transforme un nombre x en son carré x².


2) Inversement, soit h la fonction telle que  h : x → 2x + 5 .
La fonction h transforme x en le doublant et en ajoutant 5 au résultat obtenu.

3) Ecrire une fonction qui donne le prix d’achat de pommes «en fonction du» nombre de kilogrammes de pommes achetés, sachant que 1kg vaut 2,80 €.
Soit p cette fonction. Si x est le nombre de kg de pommes achetées alors : p(x) = 2,8x

1) Soit f la fonction telle que  f : x → x²

On a  f : 3 → 9   car   3² = 9
On dit que : 9 est l’image de 3 par la fonction f

De même,  f : -4 → 16 car (-4)² = 16
De même, on dit que : 16 est l’image de -4 par f


2) Soit g la fonction telle que : g(x) = 3x
Donner l’image de 5 et – 1 par g.

g(5) = 3 × 5 = 15 et g(-1) = 3 × (-1) = -3
Donc l’image de 5 par g est 15, et l'image de -1 par g est –3

Remarque : Tout nombre n’a, au plus, qu’une image par une fonction.

1) Soit f la fonction telle que  f : x → x²

On a f : 3 → 9 car 3² = 9
On dit que 3 est un antécédent de 9 par la fonction f

De même, f : -4 → 16 car (-4)² = 16
De même, on dit que -4 est un antécédent de 16 par f


2) Soit g la fonction telle que : g(x) = 3x
Donner un antécédent de 15 par g.

On sait que g(5) = 3 × 5 = 15
Donc 5 est un antécédent de 15 par g

Remarques :
• 4 est aussi un antécédent de 16 par f car 4² = 16.
Un même nombre peut donc avoir plusieurs antécédents par une même fonction.
• –9 ne peut avoir d’antécédent par f car il n’existe aucun nombre dont le carré est un nombre négatif.
Un nombre peut donc ne pas avoir d’antécédent par une fonction.