Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels
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Savoir comparer, ranger et encadrer des nombres rationnels.
- Pour comparer deux nombres rationnels, il faut écrire les deux fractions sur le même dénominateur et ensuite comparer leur numérateur.
- Ranger des nombres rationnels, c’est les classer dans l'ordre croissant ou décroissant en comparant deux à deux ces nombres rationnels.
- Encadrer un nombre rationnel par deux entiers consécutifs, c’est l’encadrer par sa partie entière et sa partie entière plus 1.
Pour l'écriture fractionnaire 
, a est son
numérateur et b son dénominateur (avec
).
On parle de fraction lorsque a et b sont des nombres entiers.
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction.
Un nombre rationnel positif est plus petit que 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur.
, 
, 
sont des nombres
rationnels positifs plus grands que 1.
, 
, 
sont des nombres
rationnels positifs plus petits que 1.
Les fractions
et 
ont le même
dénominateur (5). 7 > 3 donc 
.
Les fractions
et 
n’ont pas
le même dénominateur.Écrivons ces deux fractions avec le même dénominateur : par exemple, 12 qui est un multiple de 4 et de 6.
On a
et 
.9 < 10 donc
, puis 
.
- Pour comparer deux nombres rationnels négatifs, il faut comparer leurs valeurs numériques (sans le signe) puis inverser l’ordre de l’inégalité.
-
Par exemple, pour comparer
et
, on sait
que 
donc on a
ou bien
.
- Entre un nombre rationnel positif et un nombre rationnel négatif, le plus grand est celui qui est positif.
Il faut donc effectuer plusieurs fois la comparaison de deux nombres rationnels.
Rangeons les nombres rationnels suivants dans l’ordre croissant :
; 
; 
; 
.Tout d’abord,
et 
sont plus petits que 1 (1
< 2 et 2
< 5)
et 
et 
sont plus grands que 1 (7
> 3 et 12
> 4).
et 
sont donc les deux plus
petits nombres rationnels et 
et 
les deux plus grands.
- Comparons
et 
.
Écrivons-les avec le dénominateur 10
qui est un multiple de 2 et de 5 :
et 
.
4 < 5 donc
, puis 
.
- Comparons
et 
.
Écrivons-les avec le dénominateur 12 qui est un multiple de 3 et de 4 :
et 
.
28 < 36 donc
, puis 
.
- Concluons.
Finalement, on a donc :
.
Par exemple, encadrons la fraction 
par deux entiers
consécutifs.
- Identifier la partie entière de la fraction en
la décomposant.
Ici,
donc la partie
entière de 
est 2.
Ce nombre sera la borne inférieure de notre encadrement.
- Ajouter 1 au nombre trouvé pour obtenir la
borne supérieure de l'encadrement.
2 + 1 = 3, donc l’encadrement de
par deux
entiers consécutifs est 
.
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