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Utiliser la relation liant vitesse, distance et durée - Mouvement rectiligne

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Objectifs

Savoir utiliser les conversions de vitesses, distances et durées.
Savoir utiliser une relation de proportionnalité.

Niveau préconisé : 3^e

Points clés

Dans le cas des mouvements uniformes, il existe une relation de proportionnalité entre la distance et la durée de parcours.
Cette relation se traduit par la formule , avec :
- v la vitesse moyenne linéaire (en m/s) ;
- d la distance parcourue (en m) ;
- Δt la durée nécessaire pour parcourir cette distance (en s).
Pour travailler sur les vitesses, il faut :
savoir convertir les durées :
- 1 h = 60 min = 3600 s ;
- 1 min = h ;
savoir convertir les distances :
- 1 km = 1000 m ;
- 1 m = 10⁻³ km ;
retrouver les conversions de vitesses.

1. Relation de proportionnalité entre la vitesse, la distance et la durée pour un mouvement uniforme

Il existe une relation de proportionnalité entre la vitesse, la distance et la durée.

Cette relation se traduit par la formule

avec :

v la vitesse (en m/s) ;
d la distance parcourue (en m) ;
Δt la durée nécessaire pour parcourir cette distance (en s).

Remarque sur Δt
On confond souvent les notations t et Δt.
La notation t indique un instant précis et Δt indique une durée.

Exemple
Je suis entrée sur l’autoroute à t₁ = 8 h et je suis sortie à t₂ = 9 h 30 min.
La durée de mon trajet est Δt = t₂ − t₁ = 1 h 30 min.

Remarque sur les unités
Si d est exprimée en km et Δt en h, la vitesse sera exprimée en km/h.
Si d est exprimée en m et Δt en s, la vitesse sera exprimée en m/s.

Cette relation permet de calculer une grandeur lorsqu’on connait les deux autres.

On peut calculer la vitesse si on connait la distance et la durée : .
On peut calculer la distance parcourue si on connait la vitesse et la durée du parcours : .
On peut calculer la durée du parcours si on connait la vitesse et la distance parcourue : .

2. Cas d'un mouvement rectiligne uniforme

a. Calcul d'une vitesse

Exemple 1 : une voiture parcourt 120 km en 2 h.

Quelle est sa vitesse moyenne ?

Données : d = 120 km et Δt = 2 h.
Pour trouver une vitesse, on utilise la formule

.
Application numérique :

La vitesse moyenne de la voiture est de 60 km/h.

Convertir cette vitesse en m/s
- Conversion des km en m : 120 km = 120 × 1000 m (car 1 km = 1000 m).
- Conversion des h en s : 2 h = 2 × 3600 s (car 1 h = 60 min = 3600 s).

Remarque
On peut également utiliser la méthode du produit en croix.
On sait que : 1 km → 1000 m.
On cherche : 120 km → distance d (en m).
Par la méthode des produits en croix, on a ainsi

Application numérique, on obtient :

La vitesse moyenne de la voiture est de 16,7 m/s.

Remarque
Pour convertir rapidement des km/h en m/s, on peut également diviser par 3,6 la vitesse en km/h.
Explication :

Exemple 2
Le 5 décembre 2014, Florent Manaudou a battu le record du 50 m nage libre en 20,26 s.

Calculer sa vitesse en m/s

Données : d = 50 m et Δt = 20,26 s.
Pour trouver une vitesse, on utilise la formule

.
Application numérique, on obtient :

Le 5 décembre 2014, la vitesse de Florent Manoudou est de 2,47 m/s.

Convertir cette vitesse en km/h
1. On cherche la distance d (en m) parcourue en 1 h.On peut utiliser la méthode du produit en croix.
  On sait que : 2,47 m → 1 s.
  On cherche : distance d (en m) → 3600 s (car 1 h = 3600 s).
  D’après la méthode du produit en croix, on a ainsi la distance (en m) : en 1 heure.
1. On convertit cette distance en km.
  On peut utiliser la méthode du produit en croix.
  On sait que : 1 km → 1000 m.
  On cherche : distance d (en km) → 8892 m.
  D’après la méthode des produits en croix, on a ainsi la distance (en km) :
  .
Le 5 décembre 2014, la vitesse de Florent Manoudou est de 8,9 km/h.

Remarque
Pour convertir des m/s en km/h rapidement, on peut également multiplier par 3,6.
Explication :

donc 1 m/s = 3,6 km/h.

b. Calcul d'une distance

Exemple
Une voiture roule à 120 km/h pendant 35 min. Quelle distance (en km) parcourt-elle ?
Données v = 120 km/h et Δt = 35 min.

Pour trouver une distance, on utilise la formule

.

On peut utiliser deux méthodes pour trouver la distance.

Méthode 1

On convertit les km/h en km/min et on laisse le temps en min.
On peut utiliser la méthode des produits en croix.
On sait que : 120 km → 60 min (car 1 h = 60 min).
On cherche : distance d (en km) → 1 min (car on cherche le nombre de km parcourus en 1 min).
Par la méthode des produits en croix, on a ainsi la distance (en km) :

.
On a donc v = 2 km/min et Δt = 35 min.

Application numérique, on obtient :

Méthode 2

On convertit 35 min en heures et on laisse la vitesse en km/h.
On peut utiliser la méthode des produits en croix.
On sait que : 1 h → 60 min.
On cherche : la durée (en h) → 35 min.
Par la méthode des produits en croix, on a ainsi la durée (en h) :

.
On a donc v = 120 km/h et

.

Application numérique, on obtient :

.

La voiture parcourt 70 km en 35 min.

c. Calcul d'une durée

Exemple
Marc roule à 36 km/h sur son vélo. Combien de temps lui faut-il pour parcourir 12 km ?
Données : v = 36 km/h et d = 12 km.

Pour trouver une durée, on utilise la formule