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Racines et signe d'une fonction polynôme de degré 3

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Objectifs

Savoir ce qu’est une racine de fonction polynôme.
Factoriser, dans des cas simples, une expression du troisième degré connaissant au moins une de ses racines.
Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 3 pour trouver ses racines et étudier son signe.
Résoudre une équation de la forme x³ = c, avec c > 0.

Points clés

Une racine d’un polynôme est une valeur qui annule ce polynôme.
Certaines fonctions polynômes de degré 3 peuvent s’écrire sous forme factorisée x → a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃).
Le signe d’une fonction polynôme du type x → a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃) s’obtient en dressant un tableau de signes.
L’unique solution de l’équation x³ = c est le nombre , noté également .

Pour bien comprendre

Connaitre la fonction de référence x → x³
Savoir ce qu’est la solution d’une équation
Savoir développer une expression du troisième degré
Savoir ce qu’est le tableau de signe d’une fonction

1. Fonction polynome de degré 3

Une fonction du type x → a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃) est une fonction polynôme de degré 3.
C’est la forme factorisée de ce polynôme.

Exemple
Montrer que la fonction f(x) = 2(x – 3)(x + 2)(x – 1) est une fonction polynôme de degré 3.
On développe l’expression algébrique de f et on obtient :
f(x) = (2x – 6)(x² –x + 2x – 2) = (2x – 6)(x² + x – 2)
= 2x³ + 2x² – 4x – 6x² – 6x + 12 = 2x³ – 4x² – 10x + 12
L’expression 2x³ – 4x² – 10x + 12 est une fonction polynôme de degré 3.
C’est la forme développée de 2(x – 3)(x + 2)(x – 1).

2. Racine(s) d’une fonction polynôme de degré 3

On dit qu’un réel r est une racine d’une fonction polynôme du troisième degré f d’expression f(x) = ax³ + bx² + cx + d lorsque f(r) = 0, c’est-à-dire lorsque ar³ + br² + cr + d = 0.

Dans cette fiche, nous traitons uniquement des fonctions polynômes de degré 3 du type x → a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃).

Les racines d’une fonction polynôme de degré 3 du type x → a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃) sont x₁, x₂ et x₃.

Exemples

La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ;
–1 et 2.
En effet, f(–2) = f(–1) = f(2) = 0.
La fonction g : x → –0,2(x + 3)(x –4)² admet 2 racines : –3 et 4.
En effet, g(–3) = g(4) = 0. Ici, on dit que 4 est une racine double.
La fonction h : x → (x – 1)³ n’admet qu’une seule racine : 1.
En effet, h(1) = 0. Ici, on dit que 1 est une racine triple.

Ces trois racines peuvent donc être distinctes ou non.

Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction coupe l’axe des abscisses en un, deux ou trois points d’abscisses x₁, x₂ et x₃.

Exemples
Ci-dessous, les courbes représentatives des 3 fonctions de l’exemple précédent :

3. Signe d’une fonction polynôme de degré 3

Pour obtenir le signe d’une telle fonction, il faut dresser un tableau de signes.
Considérons x₁, x₂ et x₃ les trois racines telles que x₁ ≤ x₂ ≤ x₃.
On obtient le tableau de signes suivant :

Et donc,

Si	Alors	est
a > 0	a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)	négatif sur ]–∞ ; x₁[ et sur ]x₂ ; x₃[
		positif sur ]x₁ ; x₂[ et sur ]x₃ ; +∞[
a < 0	a(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)	positif sur ]–∞ ; x₁[ et sur ]x₂ ; x₃[
		négatif sur ]x₁ ; x₂[ et sur ]x₃ ; +∞[

Remarques

Dans le cas où x₁ = x₂, l’intervalle ]x₁ ; x₂[ n’existe pas.
Dans le cas où x₂ = x₃, l’intervalle ]x₂ ; x₃[ n’existe pas.
Dans le cas où x₁ = x₂ = x₃, les intervalles ]x₁ ; x₂[ et ]x₂ ; x₃[ n’existent pas.

Exemple 1
La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ; –1 et 2.
On a x₁ = –2 ; x₂ = –1 et x₃ = 2. De plus, a = 2 > 0.
On obtient le tableau de signes suivant :

Donc f est négative sur ]–∞ ; –2[ et sur ]–1 ; 2[
et f est positive sur ]–2 ; –1[ et sur ]2 ; +∞[.

Exemple 2
La fonction g : x → –3(x + 2)²(x –5) admet 2 racines : –2 et 5.
On a x₁ = x₂ = –2 et x₃ = 5. De plus, a = –3 < 0.
On obtient le tableau de signes suivant :

Donc g est positive sur ]–∞ ; 5[
et g est négative sur ]5 ; +∞[.

4. Résolution d’une équation avec la fonction cube

Rappel
Résoudre l’équation x² = k (avec k ≥ 0) revient à chercher le(s) nombre(s) x tel(s) que x × x = k.
Si k = 0, alors la solution est 0.
Si k > 0, alors les solutions sont k et –k.

Remarques

k est appelée « racine carrée de k ».
k est l’écriture « simplifiée » de ou encore de .

Résoudre l’équation x³ = c (avec

) revient à chercher le nombre x tel que x × x × x = c.
Ce nombre est unique, car pour tout nombre réel c, la droite d’équation y = c ne coupe qu’une seule et unique fois la courbe représentative de la fonction x → x³.