Module, argument, forme trigonométrique
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- Différencier les formes trigonométriques des algébriques
- Être capable d'effectuer des opérations avec des nombres complexes
Un couple de coordonnées polaires de M dans le repère polaire ( O ;
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Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes
Si ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M, alors son couple de coordonnées cartésiennes ( x ; y ) est : x = rcos α et y = rsin α.
z est un nombre complexe non nul, M son image dans le plan complexe et ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M.
Par définition, r est le module de z : on note |z| = r.
α est un argument de z : on note arg(z) =
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Exemple :
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![]() |
• Si z = x + iy (x et y réels), |z|2 = x2 + y2 = z x
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• Quel que soit le réel x ≠ 0, si x > 0, alors arg(x) = 0 [2
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• Quel que soit z = iy, avec y ≠ 0, si y > 0, alors arg(iy) =
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• Si |z| = r et arg(z) = α [2
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• Si z = r (cos α + isin α) avec r > 0, alors |z| = r et arg(z) = α [2
![](https://e.educlever.com/img/4/0/9/3/409342.gif)
Exemple : ![]() ![]() ![]() |zB| = 1 ; arg(zB) = ![]() ![]() |
![]() |
Soit z ≠ 0.
Si la forme algébrique de z est z = x + iy et sa forme trigonométrique z = r(cos α + isin α),
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Exemple : Soit z = 1 + i à mettre sous
forme trigonométrique.
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![]() |
Forme
trigonométrique et
opérations Soient z = r (cos α + isin α) et z' = r'(cos α' + isin α'). Conjugué de z ![]() |
![]() |
Addition et
opposé z + z' = r(cos α + isin α) + r'(cos α' + isin α'). -z est l'opposé de z ; -z = r [cos (α + ![]() ![]() |
![]() |
Multiplication, puissance,
inverse et quotient • z x z' = rr' (cos ( α + α' ) + isin ( α + α' )). • Si n est un entier naturel, zn = rn (cos (nα) + isin (nα)). • Si z ≠ 0 ; ![]() • Si z' ≠ 0 ; ![]() |
Démonstrations :
z x z' = rr' [(cos α +
isin α) x (cos α' + isin
α')] ;
z x z' = rr' [(cos α cos
α' - sin α sin α') + i
(sin α cos α' + cos α sin
α')] ;
d'où z x z' = rr' (cos (
α + α' ) + isin ( α + α'
)).
Un raisonnement par récurrence permet
d'établir la formule:
, zn =
rn (cos (nα) +
isin (nα)).
Pour l'inverse de z :
si z ≠ 0 ; z x z' = 1 ⇔
⇔
⇔
.
Enfin, on obtient la formule du quotient en appliquant la formule du produit à
.
Exemples :
et
;
;
.
Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z' | ||
Conjugué |
![]() |
arg (![]() ![]() |
Opposé | |-z| = |z| |
arg(-z) = ![]() ![]() |
Produit | |zz'| = |z| x |z'| |
arg(zz') = arg(z) + arg(z')
[2![]() |
Puissance |
|zn| =
|z|n
![]() |
arg(zn) = n arg (z)
[2![]() ![]() |
Inverse |
![]() |
arg(![]() ![]() |
Quotient |
![]() |
arg(![]() ![]() |
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