Module, argument, forme trigonométrique
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- Différencier les formes trigonométriques des algébriques
- Être capable d'effectuer des opérations avec des nombres complexes
Un couple de coordonnées polaires de M dans le repère polaire ( O ;
) est un couple ( r ; α )
où r est la distance OM et
α est une mesure, en radians, de l'ange
orienté 
.
.Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes
Si ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M, alors son couple de coordonnées cartésiennes ( x ; y ) est : x = rcos α et y = rsin α.
z est un nombre complexe non nul, M son image dans le plan complexe et ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M.
Par définition, r est le module de z : on note |z| = r.
α est un argument de z : on note arg(z) =
.
Exemple :
; |zA| =
; arg(zA) =
 .
; |zB| =
1 ;
arg(zB) =  .
|
|
• Si z = x + iy (x et y réels), |z|2 = x2 + y2 = z x
• Quel que soit le réel x ≠ 0, si x > 0, alors arg(x) = 0 [2
] ; et si x <
0, alors arg(x) = [2].• Quel que soit z = iy, avec y ≠ 0, si y > 0, alors arg(iy) =
; et si y < 0, alors
arg(iy) = 
• Si |z| = r et arg(z) = α [2
], alors z = r (cos α + isin
α).• Si z = r (cos α + isin α) avec r > 0, alors |z| = r et arg(z) = α [2
].
Exemple : 
; arg(zA) =
 . ;|zB| = 1 ; arg(zB) =  ; . |
|
Soit z ≠ 0.
Si la forme algébrique de z est z = x + iy et sa forme trigonométrique z = r(cos α + isin α),
; 
; 
.
Exemple : Soit z = 1 + i à mettre sous
forme trigonométrique.
 ; 
|
|
|
Forme
trigonométrique et
opérations Soient z = r (cos α + isin α) et z' = r'(cos α' + isin α'). Conjugué de z  = r (cos
(-α) + isin (-α)) = r
(cos (α) - isin (α)).
|
|
|
Addition et
opposé z + z' = r(cos α + isin α) + r'(cos α' + isin α'). -z est l'opposé de z ; -z = r [cos (α +  ) + isin
(α +  )].
|
|
|
Multiplication, puissance,
inverse et quotient • z x z' = rr' (cos ( α + α' ) + isin ( α + α' )). • Si n est un entier naturel, zn = rn (cos (nα) + isin (nα)). • Si z ≠ 0 ;  ((cos (-α) +
isin (-α)).• Si z' ≠ 0 ;  ((cos (α -
α') + isin (α - α')). |
Démonstrations :
z x z' = rr' [(cos α +
isin α) x (cos α' + isin
α')] ;
z x z' = rr' [(cos α cos
α' - sin α sin α') + i
(sin α cos α' + cos α sin
α')] ;
d'où z x z' = rr' (cos (
α + α' ) + isin ( α + α'
)).
Un raisonnement par récurrence permet
d'établir la formule:
, zn =
rn (cos (nα) +
isin (nα)).
Pour l'inverse de z :
si z ≠ 0 ; z x z' = 1 ⇔
⇔
⇔ 
.
Enfin, on obtient la formule du quotient 
en appliquant la formule du produit à
.
Exemples :
et 
;
;
.
| Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z' | ||
| Conjugué |
|
arg ( ) = - arg (z) [2 ]
|
| Opposé | |-z| = |z| |
arg(-z) = + arg(z) [2]
|
| Produit | |zz'| = |z| x |z'| |
arg(zz') = arg(z) + arg(z')
[2]
|
| Puissance |
|zn| =
|z|n
|
arg(zn) = n arg (z)
[2] 
|
| Inverse |
|
arg( ) = - arg(z) [2]
|
| Quotient |
|
arg( ) = arg(z) - arg(z')
[2]
|
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