Volume du cube et du pavé droit
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Objectifs
Le cube et le pavé droit sont des solides très
présents parmi les objets de la vie courante. Les
dés ou certaines boites sont des cubes. Les boites
à chaussures, les briques, les livres, les
pièces d’une maison sont souvent des
pavés droits.
Qu’est-ce que le volume d’un solide ? Comment calcule-t-on le volume d’un cube ou d'un pavé droit ?
Qu’est-ce que le volume d’un solide ? Comment calcule-t-on le volume d’un cube ou d'un pavé droit ?
1. Volume d'un solide
a. Définition
Le volume d’un solide correspond à
l’espace qu’il occupe, c'est-à-dire
l'espace à l'intérieur du solide.
Le mètre cube (m3) est
l’unité de mesure du volume. Les multiples
du m3 sont le décamètre cube
(dam3), l’hectomètre cube
(hm3) et le kilomètre cube
(km3). Les sous-multiples du m3
sont le décimètre cube (dm3), le
centimètre cube (cm3) et le
millimètre cube (mm3).
Exemple : 1 m3 correspond
au volume d’un cube dont l’arête
mesure 1 m.
b. Conversion des volumes
Pour effectuer les conversions de volumes, on peut
utiliser un tableau de conversion ou s’en faire une
représentation mentale.
Tableau de conversion des volumes :
Chaque unité de volume contient trois colonnes et chaque colonne ne contient qu’un seul chiffre.
Tableau de conversion des volumes :
Chaque unité de volume contient trois colonnes et chaque colonne ne contient qu’un seul chiffre.
km3 | hm3 | dam3 | m3 | dm3 | cm3 | mm3 | ||||||||||||||
1 | 8 | 7 | 0 | 0 | ||||||||||||||||
0, | 2 | 6 | 7 | 3 | ||||||||||||||||
1 | 4 | 6 | 7 | 8 | 0 | 0 | 0 |
Exemples :
18,7 dam3 = 18 700 m3.
Pour convertir 18,7 dam3 en m3, on place le chiffre des unités (le 8) dans la colonne correspondant à l’unité de volume de départ (le dam3), puis on décale la virgule et on ajoute des zéros pour convertir dans l’unité de volume d’arrivée (le m3).
En procédant de la même façon, on a :
267,3 cm3 = 0,2673 dm3 ;
14,678 hm3 = 14 678 000 m3.
18,7 dam3 = 18 700 m3.
Pour convertir 18,7 dam3 en m3, on place le chiffre des unités (le 8) dans la colonne correspondant à l’unité de volume de départ (le dam3), puis on décale la virgule et on ajoute des zéros pour convertir dans l’unité de volume d’arrivée (le m3).
En procédant de la même façon, on a :
267,3 cm3 = 0,2673 dm3 ;
14,678 hm3 = 14 678 000 m3.
c. Autres unités de volumes
Pour mesurer les volumes, on utilise aussi les mesures de
contenance dont l'unité de base est le litre
(noté L) ainsi que ses multiples et
sous-multiples :
le kilolitre (kL), l'hectolitre (hL), le décalitre (daL), le décilitre (dL), le centilitre (cL) et le millilitre (mL).
le kilolitre (kL), l'hectolitre (hL), le décalitre (daL), le décilitre (dL), le centilitre (cL) et le millilitre (mL).
On obtient la correspondance suivante entre les volumes
et les contenances :
1 L = 1 dm3 ou
encore
1 m3 = 1 000 L
m3 | dm3 | cm3 | ||||||
kL | hL | daL | L | dL | cL | mL | ||
1, | 4 | 0 | 0 |
Exemple : 1,4 m3 = 1 400 dm3 = 1 400 L.
2. Volume du pavé droit
Démonstration :
On veut donner le volume total de ce pavé droit composé de petits cubes de 1 cm3:
La première « couche avant » contient 8 cubes (4 × 2). Il y a 3 « couches » de cubes.
Donc au total le pavé droit contient
24 cubes de 1 cm3. Son volume est de
24 cm3.
On veut donner le volume total de ce pavé droit composé de petits cubes de 1 cm3:
La première « couche avant » contient 8 cubes (4 × 2). Il y a 3 « couches » de cubes.
Le volume V d’un pavé
droit de longueur L, de
largeur l et de hauteur h
est :
V = L × l × h.
Exemple :
Calculer le volume d’un pavé droit de 2 cm de hauteur, de 3 cm de largeur et de 4 cm de longueur.
D’après la formule, on a :
V = 4 × 3 × 2 = 24 cm3.
Calculer le volume d’un pavé droit de 2 cm de hauteur, de 3 cm de largeur et de 4 cm de longueur.
D’après la formule, on a :
V = 4 × 3 × 2 = 24 cm3.
3. Volume du cube
On calcule le volume V d'un cube d'arête
a en utilisant la formule suivante :
Volume du cube = arête ×
arête × arête
V = a3
V = a3
Exemple : Prenons le cube suivant :
Le cube ci dessus ayant des arêtes de
5 cm, son volume est égal
à 53 = 125 cm3.
Je retiens
Le volume d'un solide correspond à l'espace qu'il
occupe.
L'unité de base pour mesurer les volumes est le m3. On peut également utiliser les mesures de contenance pour mesurer des volumes. On établit alors la correspondance suivante : 1 m3 = 1 000 L.
Pour calculer le volume d'un pavé droit, on applique la formule suivante : V = L × l × h (avec L la longueur, l la largeur et h la hauteur du pavé droit).
Pour calculer le volume d'un cube, on applique la formule suivante : V = a3 (avec a l'arête du cube).
L'unité de base pour mesurer les volumes est le m3. On peut également utiliser les mesures de contenance pour mesurer des volumes. On établit alors la correspondance suivante : 1 m3 = 1 000 L.
Pour calculer le volume d'un pavé droit, on applique la formule suivante : V = L × l × h (avec L la longueur, l la largeur et h la hauteur du pavé droit).
Pour calculer le volume d'un cube, on applique la formule suivante : V = a3 (avec a l'arête du cube).
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