Quadrilatères: périmètres et aires
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Objectif
Afin de résoudre de nombreux problèmes de la
vie courante, on calcule le périmètre
d’une figure (longueur de la clôture d’un
champ, contour d’un objet…) ainsi que son aire
(calcul de la surface de moquette nécessaire pour
couvrir un sol).
Comment calcule-t-on le périmètre et l’aire dans les cas particuliers d’un rectangle, d’un carré ou d’un losange ?
Comment calcule-t-on le périmètre et l’aire dans les cas particuliers d’un rectangle, d’un carré ou d’un losange ?
1. Périmètre du rectangle et du
carré
Le périmètre d’une
figure est la longueur de son
contour.
Un périmètre s’exprime en m, cm, mm, km…
Un périmètre s’exprime en m, cm, mm, km…
Cas du rectangle
Le périmètre d’un rectangle
de longueur L et de largeur l est
donné par :
P = L + l + l + L = 2 × L + 2 × l = 2 × (L + l).
Exemple
Le périmètre du rectangle est :
P = (5 + 8) × 2 = 13 × 2 = 26 cm.
Cas du carré
Le périmètre d’un
carré de côté c est
:
P = c + c + c + c = 4 × c.
Le périmètre d’un carré de 2 m de côté est :
P = 4 × 2 = 8 m.
2. Aire d'un rectangle
L’aire d’une figure
correspond à la mesure de sa surface.
Elle s’exprime en m², cm², mm², hm²…
Elle s’exprime en m², cm², mm², hm²…
Cas du rectangle
L’aire d’un rectangle de
longueur L et de largeur
l est donnée par la
formule :
A = L × l.
Exemple L’aire du rectangle est :
A = 5 × 8 = 40 cm².
Cas du carré
L’aire d’un carré de
côté c est :
A = c × c.
ExempleL’aire d’un carré de 6 m de côté est :
A = 6 × 6 = 36 m².
3. Aire et découpage
On peut calculer l’aire d’une figure en la
découpant en figures dont on connait
l’aire.
Exemple du losange
Le losange est composé de 4 triangles rectangles identiques.
L’aire totale du losange est donc égale à 4 fois l’aire de ces triangles rectangles.
Calculer l’aire du losange ABCD tel que AC = 6 cm et BD = 4 cm sachant que A1 est l’aire du triangle ABO.
Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu O donc :
AO = AC ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm,
BO = BD ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 cm.
A1 = (3 × 2) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm².
Donc l’aire du losange est :
A = 3 × 4 = 12 cm².
Exemple du parallélogramme
Le parallélogramme (voir figure ci-dessous) est composé de deux triangles rectangles superposables de 2 cm sur 3 cm et d’un rectangle de 4 cm sur 3 cm.
L’aire des deux triangles rectangles correspond à l’aire d’un rectangle de 3 cm sur 2 cm :
3 × 2 = 6 cm².
L’aire du rectangle central est :
A = 3 × 4 = 12 cm².
L’aire totale du parallélogramme est :
12 + 6 = 18 cm².
Exemple du losange
Le losange est composé de 4 triangles rectangles identiques.
L’aire totale du losange est donc égale à 4 fois l’aire de ces triangles rectangles.
Calculer l’aire du losange ABCD tel que AC = 6 cm et BD = 4 cm sachant que A1 est l’aire du triangle ABO.
Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu O donc :
AO = AC ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm,
BO = BD ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 cm.
A1 = (3 × 2) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3 cm².
Donc l’aire du losange est :
A = 3 × 4 = 12 cm².
Exemple du parallélogramme
Le parallélogramme (voir figure ci-dessous) est composé de deux triangles rectangles superposables de 2 cm sur 3 cm et d’un rectangle de 4 cm sur 3 cm.
L’aire des deux triangles rectangles correspond à l’aire d’un rectangle de 3 cm sur 2 cm :
3 × 2 = 6 cm².
L’aire du rectangle central est :
A = 3 × 4 = 12 cm².
L’aire totale du parallélogramme est :
12 + 6 = 18 cm².
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